Замена многочлена или. Здесь - многочлена степени, например, выражение - многочлен степени.

Допустим, у нас есть пример:

Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за? Правильно, .

Уравнение приобретает вид:

Производим обратную замену переменных:

Решим первое уравнение:

Решим второе уравнение:

… Что это означает? Правильно! Что решений не существует.

Таким образом, мы получили два ответа - ; .

Понял как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно:

Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.

За нужно взять.

Мы получаем выражение:

Решая квадратное уравнение, мы получаем, что имеет два корня: и.

Решением первого квадратного уравнения являются числа и

Решением второго квадратного уравнения - числа и.

Ответ : ; ; ;

Подведем итоги

Метод замены переменной имеет основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

1. Степенная замена, когда за мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.

2. Замена многочлена, когда за мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.

3. Дробно-рациональная замена, когда за мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

Важные советы при введении новой переменной:

1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

2. Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

3. При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.

Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.

Разберем 3 задачи

Ответы на 3 задачи

1. Пусть, тогда выражение приобретает вид.

Так как, то может быть как положительным, так и отрицательным.

Ответ:

2. Пусть, тогда выражение приобретает вид.

решения нет, так как.

Ответ:

3. Группировкой получаем:

Пусть, тогда выражение приобретает вид
.

Ответ:

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ.

Замена переменных - это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Перечислю основные типы замен.

Степенная замена

Степенная замена.

Например, с помощью замены биквадратное уравнение приводится к квадратному: .

В неравенствах все аналогично.

Например, в неравенстве сделаем замену, и получим квадратное неравенство: .

Пример (реши самостоятельно):

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение (повтори ), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение степени, поэтому применяется замена переменных.

Все станет намного проще после замены: . Тогда:

Теперь делаем обратную замену:

Ответ: ; .

Замена многочлена

Замена многочлена или.

Здесь − многочлен степени, т.е. выражение вида

(например, выражение - многочлен степени, то есть).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: или.

Пример:

Решите уравнение.

Решение:

И опять используется замена переменных.

Тогда уравнение примет вид:

Корни этого квадратного уравнения: и.

Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

Значит, это уравнение корней не имеет.

Корни этого уравнения: и.

Ответ. .

Дробно-рациональная замена

Дробно-рациональная замена.

и − многочлены степеней и соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

обычно используется замена.

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что не является корнем этого уравнения: ведь если подставить в уравнение, получим, что противоречит условию.

Разделим уравнение на:

Перегруппируем:

Теперь делаем замену: .

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

Отсюда следует, что.

Вернемся к нашему уравнению:

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Пример:

Решите уравнение: .

Решение:

При равенство не выполняется, поэтому. Разделим уравнение на:

Уравнение примет вид:

Его корни:

Произведем обратную замену:

Решим полученные уравнения:

Ответ: ; .

Еще пример:

Решите неравенство.

Решение:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на:

Теперь очевидна замена переменной: .

Тогда неравенство примет вид:

Используем метод интервалов для нахождения y:

при всех, так как

при всех, так как

Значит, неравенство равносильно следующему:

при всех, так как.

Значит, неравенство равносильно следующему: .

Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:

Ответ: .

Замена переменных - один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

Напоследок дам тебе пару важных советов :

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ.

Замена переменных - метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.

Виды замены переменной:

1. Степенная замена: за принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень - .
2. Дробно-рациональная замена: за принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную - , где и - многочлены степеней n и m, соответственно.
3. Замена многочлена: за принимается целое выражение, содержащее неизвестное - или, где - многочлен степени.

После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.

Тип занятия: изучение нового материала.

Учебно-воспитательные задачи:

• научить учащихся применять метод интегрирования подстановкой;
• продолжать формировать умения и навыки применения интегрирования функций;
• продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач;
• воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений;
• напоминать, что только осознанное применение алгоритмов вычисления неопределенного интеграла позволит учащимся качественно усвоить изучаемую тему.

Обеспечение занятия:

• таблица основных формул интегрирования;
• карточки-задания для проверочной работы.

Студент должен знать: алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.

Студент должен уметь: применять полученные знания к вычислению неопределенных интегралов.

Мотивация познавательной деятельности студентов.

Преподаватель сообщает, что кроме метода непосредственного интегрирования существуют и другие методы вычисления неопределенных интегралов, одним из которых является метод подстановки. Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.

Ход занятия

I . Организационный момент.

II . Проверка домашнего задания.

Фронтальный опрос:

III . Повторение опорных знаний учащихся.

1) Повторить таблицу основных формул интегрирования.

2) Повторить в чем заключается метод непосредственного интегрирования.

Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

IV . Изучение нового материала.

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула

Рассмотрим этот метод.

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Производят замену под интегралом.
5. Находят полученный интеграл.
6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Рассмотрим примеры.

Примеры. Найти интегралы:

1) )4

Введем подстановку:

Дифференцируя это равенство, имеем:

V . Применение знаний при решении типовых примеров.

VI . Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

Вариант 1

Найти интегралы:

Вариант 2

Найти интегралы:

VII . Подведение итогов занятия.

VIII . Домашнее задание:

Г.Н. Яковлев, часть 1, §13.2, п.2, №13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)

Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.

Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:

То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.

Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.

Вычислить интегралы методом замены переменой:

Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся :

После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:

Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:

Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:

(Здесь (ln(cosx))’ — .)

Метод основан на следующей формуле: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, где x = j(t) - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Доказательство. Найдем производные по переменной t от левой и правой частей формулы.

Отметим, что в левой части находится сложная функция, промежуточным аргументом которой является x = j(t). Поэтому, чтобы дифференцировать ее по t, сначала дифференцируем интеграл по x, а затем возмем производную от промежуточного аргумента по t.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

Производная от правой части:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

Так как эти производные равны, по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части доказываемой формулы отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить. Доказано.

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному. В применении этого метода различают методы линейной и нелинейной подстановки.

а) Метод линейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1. . Пусть t = 1 – 2x, тогда

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно. В таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала, - т.е. о неявной замене переменной .

Пример 2. Например, найдем òcos(3x + 2)dx. По свойствам дифференциала
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогда òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

В обоих рассмотренных примерах для нахождения интегралов была использована линейная подстановка t = kx + b (k ¹ 0).

В общем случае справедлива следующая теорема.

Теорема о линейной подстановке . Пусть F(х) - некоторая первообразная для функции f(х). Тогда òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, где k и b - некоторые постоянные, k ¹ 0.

Доказательство.

По определению интеграла òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Вынесем постоянный множитель k за знак интеграла: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Теперь можно разделить левую и правую части равенства на k и получить доказываемое утверждение с точностью до обозначения постоянного слагаемого.

Данная теорема утверждает, что если в определение интеграла ò f(x)dx = F(x) + C вместо аргумента х подставить выражение (kx + b), то это приведет к появлению дополнительного множителя 1/k перед первообразной.

С использованием доказанной теоремы решим следующие примеры.

Пример 3.

Найдем . Здесь kx + b = 3 – x, т.е. k = -1, b = 3. Тогда

Пример 4.

Найдем . Здесь kx + b = 4x + 3, т.е. k = 4, b = 3. Тогда

Пример 5.

Найдем . Здесь kx + b = -2x + 7, т.е. k = -2, b = 7. Тогда

.

Пример 6. Найдем . Здесь kx + b = 2x + 0, т.е. k = 2, b = 0.

.

Сравним полученный результат с примером 8, который был решен методом разложения. Решая эту же задачу другим методом, мы получили ответ . Сравним полученные результаты: . Таким образом, эти выражения отличаются друг от друга на постоянное слагаемое , т.е. полученные ответы не противоречат друг другу.

Пример 7. Найдем . Выделим в знаменателе полный квадрат.

В некоторых случаях замена переменной не сводит интеграл непосредственно к табличному, но может упростить решение, сделав возможным применение на последующем шаге метода разложения.

Пример 8. Например, найдем . Заменим t = x + 2, тогда dt = d(x + 2) = dx. Тогда

где С = С 1 – 6 (при подстановке вместо t выражения (x + 2) вместо первых двух слагаемых получим ½x 2 -2x – 6).

Пример 9. Найдем . Пусть t = 2x + 1, тогда dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.

Подставим вместо t выражение (2x + 1), раскроем скобки и приведем подобные.

Отметим, что в процессе преобразований мы перешли к другому постоянному слагаемому, т.к. группу постоянных слагаемых в процессе преобразований можно было опустить.

б) Метод нелинейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1. . Пусть t = - x 2 . Далее можно было бы выразить х через t, затем найти выражение для dx и реализовать замену переменной в искомом интеграле. Но в данном случае проще поступить по-другому. Найдем dt = d(-x 2) = -2xdx. Отметим, что выражение xdx является сомножителем подынтегрального выражения искомого интеграла. Выразим его из полученного равенства xdx = - ½ dt. Тогда

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2. Найдем . Пусть t = 1 - x 2 . Тогда

Пример 3. Найдем . Пусть t = . Тогда

Пример 4. В случае нелинейной подстановки также бывает удобно использовать неявную замену переменной.

Например, найдем . Запишем xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (неявно заменили переменной t = 3 - 2x 2). Тогда

Пример 5. Найдем . Здесь тоже введем переменную под знак дифференциала: (неявная замена t = 3 + 5x 3). Тогда

Пример 6. Найдем . Поскольку ,

Пример 7. Найдем . Поскольку , то

Рассмотрим несколько примеров, в которых возникает необходимость сочетать различные подстановки.

Пример 8. Найдем . Пусть
t = 2x + 1, тогда x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.

Пример 9. Найдем . Пусть
t = x - 2, тогда x = t + 2; dx = dt.

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой .
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:
Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов , естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче .

Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл .

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении .

Пример 7

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл.

Замена:
Осталось выяснить, во что превратится

Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !

Пример 9

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл.

Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функцияи её производная : (функции , могут быть и не в произведении)

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.

Замена:

Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:

Следует отметить, что для дробей вроде , такой фокус уже не пройдет (точнее говоря, применить нужно будет не только прием замены). Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование некоторых дробей .

Вот еще пара типовых примеров для самостоятельного решения из той же оперы:

Пример 11

Найти неопределенный интеграл.

Пример 12

Найти неопределенный интеграл.

Решения в конце урока.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл.

Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: . У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную.

Общее правило :
Заобозначаем саму функцию (а не её производную).

В данном случае: . Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения .

В этом примере нахождение я распишу подробно поскольку – сложная функция.

Или короче:
По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток:

Таким образом:

Вот здесь подвести функцию под знак дифференциала уже не так-то просто.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл.

Пример для самостоятельного решения. Ответ совсем близко.

Внимательные читатели заметили, что я рассмотрел мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведён отдельный урок. Более того, на указанном уроке даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье Определенный интеграл. Примеры решений .

Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями . Замена при интегрировании корней является специфической, и её техника выполнения отличается от той, которую мы рассмотрели на этом уроке.

Желаю успехов!

Пример 3: Решение :

Пример 4: Решение :

Пример 7: Решение :

Пример 9: Решение :

Замена:

Пример 11: Решение :

Проведем замену:

Пример 12: Решение :

Проведем замену:

Пример 14: Решение :

Проведем замену:

Интегрирование по частям. Примеры решений

И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, экзамене студенту почти всегда предлагают решить интегралы следующих типов: простейший интеграл (см. статью Неопределенный интеграл. Примеры решений ) либо интеграл на замену переменной (см. статью Метод замены переменной в неопределенном интеграле ) либо интеграл как раз на метод интегрирования по частям .

Как всегда, под рукой должны быть: Таблица интегралов и Таблица производных . Если у Вас до сих пор их нет, то, пожалуйста, посетите кладовку моего сайта: Математические формулы и таблицы . Не устану повторять – лучше всё распечатать. Весь материал я постараюсь изложить последовательно, просто и доступно, в интегрировании по частям нет особых трудностей.

Какую задачу решает метод интегрирования по частям? Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное. Как мы помним, нет удобной формулы: . Зато есть такая: – формула интегрирования по частям собственной персоной. Знаю, знаю, ты одна такая – с ней мы и будем работать весь урок (уже легче).

4) , – обратные тригонометрические функции («арки»), «арки», умноженные на какой-нибудь многочлен.

Также по частям берутся некоторые дроби, соответствующие примеры мы тоже подробно рассмотрим.

Интегралы от логарифмов

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:

Прерываем решение на промежуточные объяснения.

Используем формулу интегрирования по частям: